堆排序的时间复杂度

1 引言

2 堆排序

大根堆，任意一节点的值小于子节点的值称为小根堆。一般来说，堆可以用一个一维数组$A[n]$表示。

2.1 基本操作

2.1.1 获取父、子节点

$\Theta(1)$
PARENT(i)

return i/2 

LEFT(i)

return 2i 

RIGHT(i)

return 2i+1 

2.1.2 维护堆的性质

$i$的子树都是大根堆的情况下，使以$i$为根节点的子树遵循大根堆的性质；此操作的伪代码如下：
MAX-HEAPIFY(A,i)

i = LEFT(i) r = RIGHT(i) if l <= A.heap-size and A[l] > A[i] 	largest = l else  	largest = i if r <= A.heap-size and A[r] > A[largest] 	largest  = r if largest != i 	exchange A[i] with A[largest] 	MAX-HEAPIFY(A,largest) 

$\Theta(1)$；那么MAX-HEAPIFY对于子树的时间代价最多为多少呢，可以用如下递归式表示：
$T(n) \leq T(2n/3) + \Theta(1)$
其中$\Theta(1)$代表着其余非递归的操作，$T(2n/3)$代表子树递归调用的最大值，因为每个孩子节点的子树最多为$\frac{2}{3}n$（当最底层恰好半满的时候）。

如上图，就是一个半满的完全二叉树，假设节点的右子树节点个数为$2^k - 1$，那么左子树节点个数为$2^{k+1} - 1$，总节点个数为$2^k + 2^{k+1} -1$，左子树占总数的比例为：$\frac{2^{k+1} - 1}{2^k + 2^{k+1} -1}$，当$k\rightarrow \infty$时，这个比例为$\frac23$。因此可以用表达式$T(n) \leq T(2n/3) + \Theta(1)$来刻画MAX-HEAPIFY操作的运行时间；根据主定理求解得到运行时间为$T(n)=O(lgn)$，即高为$h$的堆的运行时间为$O(h)$。

2.2 建堆

$\lfloor \frac n2\rfloor$以上的都是也治节点。因此建堆过程BUILD-MAX-HEAP的伪代码如下：
BUILD-MAX-HEAP(A)

A.heap-size = A.length for i = A.length/2 downto 1 	MAX-HEAPIFY(A,i) 

由上述伪代码中，每次调用MAX-HEAPIFY的时间为$O(lgn)$，总共调用$O(n)$次，因此可以估算建堆的运行时间为$O(nlgn)$，但是很明显，这个上界不够精确。
$h$的堆最多包含$\lceil \frac{n}{2^{h+1}} \rceil$个节点；
$h$的节点上运行MAX-HEAPIFY的代价是$O(h)$，因此建堆（BUILD-MAX-HEAP)的总代价为：
$\sum_{h=0}^{\lfloor lgn \rfloor}\lceil \frac{n}{2^{h+1}} \rceil O(h)=O(n\sum_{h=0}^{\lfloor lgn \rfloor}\frac{h}{2^h})$
其中有：$\sum_{h=0}^{\infty}\frac{h}{2^h}=2$（根据公式：$\sum_{k=0}^{\infty}kx^k=\frac{x}{(1-x)^2}$）；
因此有：
$O(n\sum_{h=0}^{\lfloor lgn \rfloor}\frac{h}{2^h})=O(n\sum_{h=0}^{\infty}\frac{h}{2^h})=O(n)$
$O(n)$

2.3 堆排序算法

HEAPSORT(A)

BUILD-MAX-HEAP(A) for i = A.length downto 2 	exchange A[1] with A[i] 	A.heap-size = A.heap-size - 1 	MAX-HEAPIFY(A, 1) 

其中，BUILD-MAX-HEAP运行时间为$O(n)$，执行了$n-1$次MAX-HEAPIFY，每次时间为$O(lgn)$，因此，堆排序的时间复杂度为$O(nlgn)$。

文章来源: https://blog.csdn.net/fugitive1/article/details/92656373